Tutvuda funktsionaalanalüüsi põhimõistetega. Vaadelda üksikasjalikumalt meetriliste ruumide, lnormeeritud ruumide ja skalaarkorrutistega ruumide omadusi. Uurida operaatoreid nendes ruumides.
Omandada teadmisi peamistest numbrilistest meetoditest osatuletistega diferentsiaalvõrrandite (ODV) lahendamisel ja nende meetodite täpsusest ja koonduvusest.
Anda süvendatud ülevaade uusimatest suundadest stohhastiliste protsesside modelleerimisel ja matemaatilises statistikas.
Harjutada üliõpilasi matemaatilise mõtlemise ja sümboolikaga.

To become acquainted with main notions of functional analysis. To consider in detail the properties of metric spaces, normed spaces and spaces with inner products. To study operators in these spaces.
To obtain a knowledge about main numerical methods to solve partial differential equations (PDE) and accuracy and convergence of these methods.
To give a deeper overview about new developments in modelling of stochastic processes and mathematical statistics
To train students in mathematical thinking and symbolism.

Aine läbinud üliõpilane
teab funktsionaalanalüüsi põhimõisteid: ruumid, mormid, skalaarkorrutised;
saab aru erinevate ruumide vahelistest seostest ja operaatori omaduste omavahelistest seostest;
tunneb diferentsmeetodit elliptilist tüüpi võrrandite jaoks;
teab üldistatud ülesande mõistet ja peamisi projektsioonimeetodeid: kollokatsioonimeetodit, Galjorkini meetod, vähimruutude meetod ning lõplike elementide meetodit;
teab ilmutatud ja ilmutamata diferentsskeeme ja Cranck-Nicolsoni skeemi praboolset tüüpi võrrandite jaoks ning nende skeemide stabiilsust;
tunneb Lax-Wendroffi skeemi ja ilmutatud diferentsskeemi hüperboolset tüüpi võrrandite jaoks;
omab teadmisi numbriliste meetodite täpsuse ja koonduvuse kohta;
oskab korrastada andmebaase, koostada objekt-tunnus maatriksit ning tunneb statistiku ja hinnangu mõisteid ning hinnangu omadusi;
oskab teostada regressioon-, korrelatsioon- ja dispersioonanalüüsi;
oskab koostada teststatistikuid ja kontrollida statistilisi hüpoteese;
tunneb mitmemõõtmelise statistilise analüüsi põhimõisteid ja oskab kasutada maatriksalgebrat regressioon- ja dispersioonanalüüsis;
omab teadmisi juhuslike arvude generaatoritest, juhuslikest protsessidest ja Markovi ahelatest;
oskab analüüsida aegridu.

Having finished the study of the subject, a student:
knows main concepts of functional analysis: spaces, norms inner products;
understands the relations between different spaces, and the relations between the properties of the operator;
knows the method of finite differences for elliptic equations;
knowns the concept of generalized solution and main projection methods: collocation, Galerkin, least squares methods and the method of finite elements;
knows the explicit and implicit difference schemes and Cranck-Nicolson scheme for parabolic equations and stability of these schemes;
knows Lax-Wendroff scheme and the explicit difference scheme for hyperbolic equations;
has a knowledge about accuracy and convergence of numerical methods;
has skills in composing of data bases and understand the properties of statistics;
has skills in Regression Analyses and in Analyses of Variance (ANOVA);
can compose the test statistics and control the hypotheses;
has orientation in basic theory of multivariate statistics;
can apply the tools of matrix algebra on Regression analyses and on ANOVA;
has acknowledges about random processes;
can analyse the time series

1. Meetrilised ruumid. Täielik meetriline ruum. Banachi püsipunkti teoreem. Kompaktsus. Lineaarsed ruumid. Normeeritud ruum, Hilberti ruum. Ortogonaalsed süsteemid. Operaatorid normeeritud ruumis. Lineaarsed tõkestatud operaatorid. Operaatori norm. Pidevate operaatorite ruum. Banach-Steinhausi teoreem. Pöördoperaator. Operaatorite diferentsiaalarvutus. Operaatori tugev ja nõrk diferentsiaal.
2. Diferentsmeetod ja projektsioonimeetodid elliptilist tüüpi võrrandite rajaülesannete lahendamisel. Lõplike elementide meetod. Diferentsmeetod paraboolset ja hüperboolset tüüpi võrrandite segaülesannete jaoks. Ilmutatud ja ilmutamata diferentsskeemid. Meetodite täpsus ja koonduvus.
3. Andmebaaside koostamine. Statistik, tema omadused. Piisavad statistikud. Regressioon- ja dispersioonanalüüs. Faktoranalüüs. Diskriminantanalüüs. Lineaarse korrelatsiooniakordaja puudused. Astakkorrelatsioonid. Üldistatud lineaarsed mudelid. Mitteparameetrilise statistika elemente. Maatriksalgebra rakendusi regressioon- ja dispersioonanalüüsis. Juhuslike arvude generaatorid. Juhuslikud protsessid. Markovi ahelad, selle rakendused. Poissoni protsessid. Markovi ahelad statistikas. Aegridade analüüs. Stohhastilise programmeerimise elemente.

1. Metric spaces. Complete metric space. The Banach fixed-point theorem. Compactness. Linear space. Normed space. Hilbert space. Orthogonal systems. Operators in normed spaces. Linear bounded operators. The norm of an operator. The space of continous operators. The Banach-Steinhaus theorem. The inverse operator. Differential calculus of operators. Strong and weak differentials of the operator.
2. Problems posed for PDE. Method of finite differences and projection methods for boundary value problems for equations of elliptic type. Method of finite elements. Method of finite differences for initial-boundary value problems for equations of parabolic and hyperbolic types. Explicit and implicit difference schemes. Accuracy and converenence of the methods.
3. The composition of data bases. Statistic, its properties. Sufficient statistics. Regressional analyses. Analyses of Variance (ANOVA). Factor analyses. Disciminant analyses. The disadvantages of linear correlation coefficient. Rank correlations. Generalized linear models. The elements of nonparametric statistics. Applications of matrix algebra on regression analyses and on analyses of variance. Random number generators. Random processes. Markov Chains. Poisson processes. Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Time series analyses. The elements of stochastic programming.

Aine koosneb kolmest osast: funktsionaalanalüüs, ligikaudsed arvutusmeetodid ja stohhastiline modelleerimine. Iga aineosa hinnatakse eraldi. Lõpphinne kujuneb kolme aineosa hinnete keskmisena.

The course consists of three parts: functional analysis, numerical methods and stochastic modelling. Each part is assessed separately. Final grade is computed as an average of grades of these three parts.

Iseseisev töö seisneb kodutööde teostamises.

The self-dependent work of students consists in performing homeworks.

S. G. Krantz. A Guide to Functional Analysis. MAA, 2013.
V. Ruas, Numerical methods for partial differential equations. Wiley, 2016
Tõnu Kollo, Monte Carlo meetodid, Tartu 2004
G. McPherson, Statistics in Scientific Investigation. Its Basis, Applications and Interpretation, Springer, Berlin, 1990.

-